Máximo común divisor ¿Que es el m.c.d? (sacar, de dos números,de tres numeros, divisiones sucesivas, descomposición en factores primos, Euclides) - Mathstor
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El Máximo común divisor (M.C.D.) de dos o mas números es el mayor numero
que los divide a todos exactamente ( el mayor numero que los divide sin
dejar residuo, es decir, sin que sobre algún numero).
Cuando los números son pequeños, puede hallarse muy
fácilmente el m.c.d por simple inspección.
Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, procedemos así:
a. nos fijamos en el numero menor de los dados. Si este divide a
todos los demas, sera el m.c.d. Si no los divide, buscamos cual
es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y este
sera el m.c.d. buscado.
👀 Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 18, 12 y 6 se obtiene de la
simple inspección:
El numero menor 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el m.c.d. de 18,12 y
6.
Aquí le dejo un vídeo para mas detalle:
Aqa
Cálculo del
Máximo Común Divisor
Los tres métodos mas utilizados para el calculo del máximo común divisor de
dos números son:
Por descomposición en factores primos
El m.c.d. de
varios números descompuestos en sus factores primos es el producto de
sus factores primos comunes, afectados de su menor exponente.
Forma Larga
REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL M.C.D. DE VARIOS NÚMEROS POR
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.
Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma
con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente.
👀 Ejemplo: para calcular el máximo común
divisor de 108 y 420 se obtiene de su factorizacion en factores
primos
El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
Forma corta
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos
puede hallarse rápidamente
dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común, los cocientes nuevamente por un factor común y
así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre
si.
El m.c.d. es el producto de los factores comunes.
👀 Ejemplo: para calcular el máximo común
divisor de 80 y 20 se obtiene de su factorizacion en factores
primos
Aquí les dejo un vídeo aplicando los dos métodos:
Usando el algoritmo de Euclides
Un método mas eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el
algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también
divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el mas pequeño.
M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas
El m.c.d. del dividendo y el divisor de una división inexacta es igual al
del divisor y el residuo.
Regla practica para hallar el M.C.D. de dos números por divisiones
sucesivas
Se divide el mayor de los
números dados por el menor. Si la división es exacta, el menor
es el m.c.d. Si la división es inexacta, se divide el divisor por el
primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo, este por el
tercero y así sucesivamente hasta obtener una
división exacta.
El ultimo divisor sera el m.c.d.
👀 Ejemplo 1 : Para calcular el máximo común
divisor de 150 y 25 se obtiene por sus divisiones sucesivas
El m.c.d. de 150 y 25 es 25.
👀 Ejemplo 2 : Para calcular el máximo común
divisor de 2227 y 2125 se obtiene por sus divisiones sucesivas
El ultimo divisor es el m.c.d de 2227 y 2125 por lo tanto es 17
Aquí les dejo un vídeo para mas detalle:
Usando el mínimo común múltiplo
El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común
múltiplo.
Si a y b son distintos de cero. El m.c.d. de dos números igual a su
producto dividido por su m.c.m.
Regla practica para hallar el M.C.D. de dos números por el M.C.M.
Se multiplican los números dados y se divide este producto por m.c.m. de
ambos. el cociente sera el m.c.d. y se representa con la siguiente
formula:
👀 Ejemplo : Para calcular el máximo común divisor de 84 y 120 se obtiene por el
mínimo común múltiplo.
MCD de tres o más números
M.C.D. de tres o mas números por divisiones sucesivas
Regla practica para hallar el M.C.D. de tres o mas números por
divisiones sucesivas
Para hallar el m.c.d. de tres o mas números por divisiones sucesivas
sa halla primero el de dos de ellos; después el de otro de los
números dados y el m.c.d. hallado; después el de otro numero y
el segundo m.c.d., y así sucesivamente hasta el ultimo numero. El
ultimo m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados.
👀 Ejemplo: Para calcular el máximo común divisor de 4940, 4420, 2418 y 1092 se
obtiene por sus divisiones sucesivas
El m.c.d. de 4940, 4420, 2418 y 1092 es 26.
Aquí les dejo un vídeo con tres numero para mas detalle:
Aquí les dejo un vídeo con mas de tres numero para mas detalle:
M.C.D. De tres o mas números por descomposición en factores
primos
El M.C.D. De tres o mas números por descomposición en factores
primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común, los cocientes nuevamente por un factor común y
así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si.
El m.c.d. es el producto de los factores comunes
👀 Ejemplo: Para calcular el máximo común divisor de 4940, 4420, 2418 y 1092 se
obtiene por descomposición en factores primos.
Aquí les dejo un vídeo para mas detalle:
Aplicaciones
El mcd se utiliza para simplificar fracciones. por ejemplo, para
simplificar la fracción 150/25 se calcula primero el mcd (150,25) = 25,
dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial
por 25 para obtener la fracción simplificada 6/1 = 6.
El mcd también se utiliza para calcular el
mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto
de los dos números es igual al producto de su
máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así,
para calcular el mínimo común múltiplo de 25 y de 150,
calculamos primero su mcd, 25, siendo su
mínimo común múltiplo (25*150)/25= 150.
El mcd y el algoritmo de Euclides se emplea en la resolución de
ecuaciones diofánticas con dos incógnitas.
El algoritmo de Euclides se emplea en el desarrollo de un numero racional
en fracción continua.
