miércoles, 29 de julio de 2020

Máximo común divisor ¿Que es el m.c.d? (sacar, de dos números,de tres numeros, divisiones sucesivas, descomposición en factores primos, Euclides) - Mathstor





El Máximo común divisor (M.C.D.) de dos o mas números es el mayor numero que los divide a todos exactamente ( el mayor numero que los divide sin dejar residuo, es decir, sin que sobre algún numero).
Se designa por sus iniciales m.c.d.

¿Qué aprenderás en este articulo?

Máximo común divisor por simple inspección

1.   Cálculo del Máximo Común Divisor

       Por descomposición en factores primos

          Forma Larga

           Forma corta

      Usando el algoritmo de Euclides

             M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas

         Usando el mínimo común múltiplo

         MCD de tres o más números

             M.C.D. de tres o mas números por divisiones sucesivas

               M.C.D. de tres o mas números por descomposición en factores primos

2.   Aplicaciones

      Véase también

      Referencias

Máximo común divisor por simple inspección

Cuando los números son pequeños, puede hallarse muy fácilmente el m.c.d por simple inspección.

Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, procedemos así:
a. nos fijamos en el numero menor de los dados. Si este divide a todos los demas, sera el m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que los divide a todos y este sera el m.c.d. buscado.

👀 Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 18, 12 y 6 se obtiene de la simple inspección:

El numero menor 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el m.c.d. de 18,12 y 6. 

Aquí le dejo un vídeo para mas detalle:



Aqa

                Cálculo del Máximo Común Divisor

Los tres métodos mas utilizados para el calculo del máximo común divisor de dos números son:

 Por descomposición en factores primos

      El m.c.d. de varios números descompuestos en sus factores primos es el producto de sus factores primos comunes, afectados de su menor exponente.


 Forma Larga

REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL M.C.D. DE VARIOS NÚMEROS POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente.

👀 Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 108 y 420 se obtiene de su factorizacion en factores primos 

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:



Forma corta

El m.c.d.  de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si.

El m.c.d. es el producto de los factores comunes.

   👀 Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 80 y 20 se obtiene de su factorizacion en factores primos 



Aquí les dejo un vídeo aplicando los dos métodos:


 Usando el algoritmo de Euclides

Un método mas eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el mas pequeño.

 M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas

El m.c.d. del dividendo y el divisor de una división inexacta es igual al del divisor y el residuo.

Regla practica para hallar el M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas
 Se divide el mayor de los números dados por el menor. Si la división es exacta, el menor es el m.c.d. Si la división es inexacta, se divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo, este por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta.
El ultimo divisor sera el m.c.d.

👀 Ejemplo 1 : Para calcular el máximo común divisor de 150 y 25 se obtiene por sus divisiones sucesivas

 






               
 El m.c.d. de 150 y 25 es 25. 



👀 Ejemplo 2 : Para calcular el máximo común divisor de 2227 y 2125 se obtiene por sus divisiones sucesivas
















El ultimo divisor es el m.c.d de 2227 y 2125 por lo tanto es 17



Aquí les dejo un vídeo para mas detalle:


Usando el mínimo común múltiplo

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo.
Si a y b son distintos de cero. El m.c.d. de dos números igual a su producto dividido por su m.c.m.

Regla practica para hallar el M.C.D. de dos números por el M.C.M.
Se multiplican los números dados y se divide este producto por m.c.m. de ambos. el cociente sera el m.c.d. y se representa con la siguiente formula:







👀 Ejemplo  : Para calcular el máximo común divisor de 84 y 120 se obtiene por el mínimo común múltiplo.











MCD de tres o más números

 M.C.D. de tres o mas números por divisiones sucesivas

Regla practica para hallar el M.C.D. de tres o mas números por divisiones sucesivas
Para hallar el m.c.d. de tres o mas números por divisiones sucesivas sa halla primero el de dos de ellos; después el de otro de los números dados y el m.c.d. hallado; después el de otro numero y el segundo m.c.d., y así sucesivamente hasta el ultimo numero. El ultimo m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados.

👀 Ejemplo: Para calcular el máximo común divisor de 4940, 4420, 2418 y 1092 se obtiene por sus divisiones sucesivas



El m.c.d. de 4940, 4420, 2418 y 1092 es 26.

Aquí les dejo un vídeo  con tres numero para mas detalle:

Aquí
 les dejo un vídeo  con mas de tres numero para mas detalle:



 M.C.D. De tres o mas números por descomposición en factores primos

El M.C.D. De tres o mas números por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre si.
El m.c.d.  es el producto de los factores comunes

👀 Ejemplo: Para calcular el máximo común divisor de 4940, 4420, 2418 y 1092 se obtiene por descomposición en factores primos.










    

      Aquí les dejo un vídeo para mas detalle:



    Aplicaciones

El mcd se utiliza para simplificar fracciones. por ejemplo, para simplificar la fracción 150/25 se calcula primero el mcd (150,25) = 25, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 25 para obtener la fracción simplificada 6/1 = 6.

El mcd también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 25 y de 150, calculamos primero su mcd, 25, siendo su mínimo común múltiplo (25*150)/25= 150.

El mcd y el algoritmo de Euclides se emplea en la resolución de ecuaciones diofánticas con dos incógnitas.

El algoritmo de Euclides se emplea en el desarrollo de un numero racional en fracción continua.

     Véase también

Mínimo común múltiplo
Números primos entre si

    Referencias

1. Máximo común divisor (1974) Aurelio Baldor edición cultural centro americana, S.A. pag. 210 - 221.

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